Análisis de método de multiplicación alternativo

El otro día vi este interesante vídeo en youtube sobre un sistema alternativo de multiplicación (no, no es el mítico de las rayas y los puntitos):

Me llamó tanto la atención que me puse a hacer pruebas sobre multiplicaciones no solo de 2x2 o 2x3, sino que con un par de pruebas averigüe el algoritmo, pudiendo por tanto hacer hasta 2xN multiplicaciones. Para comprobarlo, probé a hacer hasta 2x5 y efectivamente funcionaba.

En general el algoritmo es muy simple, y para hacer una multiplicación de 2xN, tienes que hacer un total de [(2*n)-1] pasos. Es decir, para una 2x2, haces (2*2)-1 = 3 pasos.

Explicación del algoritmo

Empiezas siempre por la derecha, y vas avanzando cada vez una casilla más a la izquierda, hasta que ocupas todo el ancho de la multiplicación (es decir las N posiciones), y entonces empiezas a "encoger" hacia el lado izquierdo. Como una imagen vale más que mil palabras, he hecho imágenes con los pasos de las multiplicaciones desde 2x2 hasta 2x5, que se entenderá mejor:

Los pasos que mencioné antes son cada una de los recuadros he ido pintado, y tal y como se ve aplicando la fórmula de [(2*n)-1], vemos respectivamente que hay:

• 2x2 = 3 pasos
• 2x3 = 5 pasos
• 2x4 = 7 pasos
• 2x5 = 9 pasos

Evaluación de eficiencia

Llegado a este punto, me empecé a preguntar que era más eficiente, si la multiplicación clásica que nos enseñan a todos en el colegio o si este método alternativo: si por cada columna adicional hay que hacer dos pasos más, eso va aumentando el nº de multiplicaciones y sumas, así que ¿es realmente eficiente usar este método según va creciendo la multiplicación?

Decidí averiguarlo contando el número de multiplicaciones y sumas que hay que hacer en cada sistema, sin contar los acarreos, ya que son arbitrarios y dependen de los números que andes multiplicando en cada momento.

1. Sistema Alternativo

Para ello, me basé en los dibujos que hice arriba, cada raya roja representa una multiplicación, sumando el número de rayas rojas que hay en todos los recuadros, obtenemos el nº de multiplicaciones.

A continuación, fui con las sumas, en cada recuadro en el que hay más de una raya roja, hay que sumar, así pues: 2 rayas = 2 sumandos = 1 suma; 3 rayas = 3 sumandos = 2 sumas; 4 rayas = 4 sumandos = 3 sumas. Así pues, en cada paso -aka, cada recuadro- vi cuantas sumas había que hacer, y sumándolas (valga la redundancia), obtuve el nº de sumas.

El resultado tras contabilizar todas las operaciones que había que hacer en varias multiplicaciones de distinto tamaño fue el siguiente:

• 2x2: 4 multiplicaciones, 1 suma
• 2x3: 9 multiplicaciones, 4 sumas
• 2x4: 16 multiplicaciones, 9 sumas
• 2x5: 25 multiplicaciones, 16 sumas

Huelga decir que a partir de ahí ya se veía un patrón, que es el siguiente:

2xN: N^2 multiplicaciones, (N-1)^2 sumas

2. Sistema Estándar

Para el sistema estándar, propuse dos casos, uno en el que hay siempre un acarreo final al hacer la última multiplicación y otro sin acarreo final.

Como no siempre hay acarreo al final y como no tuve en cuenta el acarreo en el sistema alternativo, entonces he decidí poner solo las conclusiones a las que llegué sin contabilizar acarreos. En este caso, creo que con el dibujo quedará todo bien explicado:

Tal y como se ve...

• 2x2: 4 multiplicaciones, 1 suma
• 2x3: 9 multiplicaciones, 4 sumas
• 2x4: 16 multiplicaciones, 9 sumas
• 2x5: 25 multiplicaciones, 16 sumas

Y nuevamente aparece un patrón que es...:

2xN: N^2 multiplicaciones, (N-1)^2 sumas

¡Sorpresa! De un sistema a otro hay que seguir haciendo el mismo número de operaciones, tanto en suma como en multiplicación.

Conclusiones

Entonces, llegados a este punto, ¿qué sistema es mejor de los dos?

Realmente la diferencia entre ambos rádica en el algoritmo por el cual lo resuelves. En el sistema tradicional primero haces todas las multiplicaciones (con los acarreos que haya de por medio) y más tarde, haces todas las sumas. En el sistema alternativo, estás multiplicando y sumando a la vez, literalmente haces "multiplicación + multiplicación + multiplicación....".

En el sistema tradicional por tanto, es más difícil equivocarse calculando, porque estás haciendo todo el rato operaciones sencillas en "paquetes" de unidades, pero sin embargo, si eres algo desordenado te puedes equivocar al hacer la suma: ¿a quien no se le ha torcido alguna vez una columna al hacer una multiplicación tocha y entonces a la hora de sumar piensas "¿Y este número va en esta columna o esta otra?"?. Aparte realmente no puedes calcular la multiplicación de cabeza del tirón, tienes que escribir.

En el sistema alternativo, es más fácil equivocarse al estar calculando mentalmente todo el rato, aparte, imagínate multiplicar... 67*82 (y es una multiplicación simple), en la sección central: 6*2=12 + (7*8=56) = 68, estas sumando "paquetes" en forma de decenas en vez de unidades.

Por otro lado, puedes ahorrar algo de papel escribiendo (ey, eso en un exámen nunca viene mal si no tienes calculadora), y como no, queda cool...

Por tanto, todo depende de la capacidad de retentiva mental que tenga cada uno, si eres capaz de retener un número en la mente a la vez que multiplicas otro para sumárselo al que estás reteniendo en la mente, entonces el sistema alternativo de multiplicación es mejor que el estándar, puesto que te ahorras el tener que ir escribiendo todas las soluciones en el papel., cosa que tienes que hacer casi por obligación en el estándar.

Si por el contrario, eres bueno calculando pero te cuesta retener los números, el sistema estándar es mejor, ya que no pierdes la traza de lo que estás haciendo.

Sin embargo, estamos tan entrenados desde pequeños al sistema estándar, que realmente cálculamos ya rápido por inercia, si intentaseis ahora hacer una multiplicación (incluso la de 2x3) por el alternativo, fijo que os equivocaríais varias veces al calcular.

No obstante, queda como un método de resolución bastante curioso, que llega a igualar al sistema clásico en eficiencia.